
\documentstyle[12pt]{book}
\author{Г.А.Каменский} 
\date{}
\title{Линейные разностные уравнения и преобразование Лорана}
\pagestyle{myheadings}
\markboth{Г.А.Каменский}{Линейные разностные уравнения и преобразование 
Лорана}
\tolerance=5000
\language=1
\textwidth=155mm
\oddsidemargin=-10mm
\evensidemargin=-10mm
\topmargin=-10mm
\textheight=225mm
\newcommand{\Llra}{\Longleftrightarrow}
\newcommand{\black}{\rule{5pt}{5pt}}
\begin{document}
\maketitle
          \begin{center}{\large ВВЕДЕНИЕ }\end{center}

Импульсные системы автоматического регулирования широко распространены
во многих областях техники.Математическим аппаратом исследования
импульсных систем являются разностные уравнения. Эти уравнения
играют важную роль и во многих других областях чистой и прикладной
математики.  При приближенном решении дифференциальных уравнений
 они сводятся к разностным уравнениям.
Многие явления моделируются и непосредственно разностными уравнениями.
Теория разностных
уравнений излагается в книгах [1] и [2].Преобразование Лорана, иначе
называемое $z$-преобразованием, получило значительное распространение как
метод решения разностных уравнений.(См.[3].)

Здесь излагается теория линейных разностных уравнений и
систем уравнений и теория преобразования Лорана, которое применяется
к решению разностных уравнений и систем уравнений с постоянными
коэффициентами.

Предполагается, что читатель изучил курсы линейной алгебры,
математическо\-го анализа и теории аналитических функций
 по программам технических ВУЗов.
 Рекомендуется
предварительно ознакомиться с главой 2, а затем приступить к
систематическому изучению пособия.
Опишем некоторые  математические понятия, используемые далее.
Пусть $M$ -множество, элементами которого являются функции
$x(t),\,t\in[a,b]$, а  $N$ - множество, элементами которого
являются функции $f(\tau),\,\tau\in[c,d]$ и пусть каждому элементу
$x\in M$ соответствует единственный элемент $f\in N$. Тогда
говорят, что задан {\it оператор} $A:M\to N$ и пишут $A(x)=f$.
Областью определения $A$ является $M$, а областью значений
--$N$. Элементами множеств $M$ и $N$ могут быть вектор-функции
различных размерностей, принимающих как действительные, так и
комплексные значения. Предполагается,что для элементов
множеств $M$  и $N$ определены
операции сложения и умножения на действительные или на
комплексные числа.Кроме того, функции $x$ и $f$  могут
зависеть как от непрерывного, так и от дискретного аргумента.

Оператор $L$  называется {\it линейным оператором,} если
$$
L(x+y)=L(x)+L(y)\quad \mbox{и}\quad L(Cx)=CL(x)$$
для любых $x,y\in M$ и
для любого постоянного $C.$ Методом математической индукции
доказывается, что для линейного оператора выполняется
равенство
$$
L(C_1x_1+C_2x_2+\dots +C_mx_m)=C_1L(x_1)+C_2L(x_2)+\dots+C_mL(x_m)
\eqno (0.1)$$
при произвольных постоянных $C_1,C_2,\dots,C_m.$

Для линейных операторов справедливы следующие просто
доказываемые, но важные теоремы.
Рассмотрим операторные уравнения
$$L(x)=f.\eqno(0.2)$$ и $$L(x)=0.\eqno (0.3)$$
Уравнение (0.2) называется линейным неоднородным операторным
уравнением, а уравнение (0.3) - линейным однородным операторным
уравнением, соответствующим уравнению (0.2).

Здесь будут изучаться операторы
$$
L_1(x)=a_0(t)x(t+n)+a_1(t)x(t+n-1)+\dots+a_n(t)x(t)$$
и
$$
L_2(y)=y(t+1)-A(t)y(t),$$
где $y(t)$-$n$-мерный вектор-столбец
$$y(t)=\left(\begin{array}{c}y_1(t)\\y_2(t)\\ \dots\\ y_n(t)\end{array}
\right),$$

а $A(t)$-$n\times n$ матрица

$$
\left(\begin{array}{cccc}
a_{11}(t)&a_{12}(t)&\ldots&a_{1n}(t)\\
a_{21}(t)&a_{22}(t)&\ldots&a_{2n}(t)\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}(t)&a_{n2}(t)&\ldots&a_{nn}(t)
\end{array}\right).$$

Областью определения функций $x(t)$ и $y(t)$  будем полагать или
действительную полуось $[0,\infty)$  или множество целых
неотрицательных чисел. В последнем случае независимую переменную
будем обозначать буквой $k.$


Легко проверить, что оба оператора $L_1$ и $L_2$ являются линейными
операторами. \bigskip

{\sc Теорема 0.1.}{\sl Если $x_1,x_2,\dots x_m$  -решения уравнения
(0.3), а $C_1,C_2,\dots C_m$ --произвольные постоянные, то
$C_1x_1+C_2x_2+\dots +C_mx_m$ также является решением уравнения (0.3).}


{\it Доказательство.}  Из того, что $L(x_i)=0,i=1,\dots,m$ и (0.1)
вытекает утверждение теоремы.\quad\black

{\sc Замечание.} Из этой теоремы следует, что множество решений
однородного уравнения (0.3)  образует линейное пространство.

{\sc Теорема 0.2.}{\sl Если $x_1$-- решение уравнения (0.2), а
$x_2$--решение уравнения (0.3), то $x_1+x_2$  является решением уравнения
(0.2).}

{\it Доказательство.} Так как $L(x_1)=f$ и $L(x_2)=0,$ то
$L(x_1+x_2)=L(x_1)+L(x_2)=f.$\quad\black

{\sc Замечание.} Из этой теоремы следует, что  в линейных системах
вынужденные и свободные колебания складываются.

{\sc Теорема 0.3.}{ Если $x_1$ есть решение уравнения $L(x)=f_1$ и
$x_2$ есть решение уравнения
$L(x)=f_2,$ то сумма $x_1+x_2$ есть решение уравнения
$L(x)=f_1+f_2$.}

{\it Доказательство.} $L(x_1+x_2)=L(x_1)+L(x_2)=f_1+f_2.$\quad\black

{\sc Замечание.} В этой теореме доказано, что в линейных системах
справедлив {\it принцип наложения,}утверждающий, что в линейных системах
результаты действия внешних сил складываются. Принцип наложения
является характеристическим свойством линейных систем. Он справедлив для
линейных систем и только для них.

{\sc Теорема 0.4.}{\sl Если оператор $L(x)$ для действительных $x$
принимает действи\-тельные значения, а $z=x+iy$  есть комплексное решение
уравнения (0.3), то $x$ и $y$ являются действительными решениями
уравнения (0.3).}

{\it Доказательство.} $L(z)=L(x+iy)=L(x)+iL(y)=0,$ откуда следует,
что $L(x)=0$ и $L(y)=0.$ \quad\black


Нам потребуются также следующие сведения из линейной алгебры. Пусть
$X$ - линейное пространство размерности $n.$ {\it Базисом} в $X$ называется
совокупность $n$ линейно независимых элементов $e_1,e_2,\dots,e_n.$
Если $x\in X,$ то $x$ единственным образом раскладывается по элементам
базиса $x=s_1e_1+s_2e_2+\dots +s_ne_n .$ Два линейных пространства $X$
и $Y$ называются {\it изоморфными,} если между ними существует
взаимно-однозначное соответствие , $x\leftrightarrow y$,
являющееся линейным оператором,({\it изоморфизм}).

{\sc Теорема 0.5.}{\sl
Если между элементами пространства $X$ имеется линейная зависимость
$\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\dots+\alpha_mx_m=0$ и $x_i
\leftrightarrow y_i,\\i=1,\dots,m,$
то $\alpha_1y_1+\alpha_2y_2+\dots+\alpha_my_m=0,$ то есть линейно
зависимые элементы при изоморфизме переходят в линейно зависимые
элементы с теми же коэффициентами линейной зависимости.}

{\it Доказательство.} Утвержение теоремы вытекает из
 определения изоморфизма и свойств линейных
операторов.\black

Отсюда, в
 частности, следует, что если пространства $X$ и $Y$ изоморфны, то
 их размерности равны.\newpage
 \begin{center}{\LARGE Глава 1. Линейные разностные уравнения.}\end{center}
 \bigskip
 {\large  1.1. Основные понятия и определения.}

 {\it Линейным разностным уравнением } называется уравнение
 $$
 c_0(t)x(t+nh)+c_1(t)x(t+(n-1)h)+\dots +c_n(t)x(t)=F(t).\eqno (1.1)$$

Если $c_0(t)\not\equiv 0$ и $c_n(t)\not\equiv 0,$ то $n$  называется
 {\it порядком}  уравнения. Положительное число $h$ называется шагом.

 Если  $c_n(t)\equiv 0,$ то уравнение (1.1) может быть линейной заменой
 независимой переменной сведено к уравнению более низкого порядка.
 Предположим, что в общем случае $c_n(t)\equiv c_{n-1}(t)\equiv \dots
 \equiv
 c_{n-k+1}(t)\equiv 0,$ а $c_{n-k}(t)\not\equiv 0.$ Тогда, сделав замену
 $t'=t+kh,$ мы приведем уравнение (1.1) к уравнению такого же вида, но
 порядка $n-k.$ В дальнейшем мы будем предполагать, что если такое
 понижение порядка возможно, то оно уже сделано, и $c_n(t)\not\equiv 0.$
 Кроме того, можно без ограничения общности считать, что $h=1,$ так как
 этого всегда можно добиться изменением масштаба по оси $t.$ Разделив
 уравнение (1.1) на $c_0(t)$  и положив $h=1,$ мы приведем его к виду
 $$
 x(t+n)+p_1(t)x(t+n-1)+\dots+p_n(t)x(t)=f(t).\eqno(1.2)$$



 Пусть задано число $t_0$  и на отрезке $[t_0,t_0+n]$  задана
 непрерывная функция $\varphi(t)$,удовлетворяющая {\it условию
  согласования}
  $$
  \varphi(t_0+n)+p_1(t_0)\varphi(t_0+n-1)+\dots +p_n(t_0)\varphi(t_0)
  =f(t_0)\eqno (1.3)$$


 Для уравнения (1.2) ставится
 начальное условие
 $$
 x(t)=\varphi(t), t\in [t_0,t_0+n].\eqno (1.4)$$

 {\it Непрерывным решением} начальной задачи  (1.2),(1.4) называется
 непрерывная функция, превращающая уравнение (1.2) в тождество по
 {t} при $t\in [t_0,T],(T>t_0+n),$  и удовлетворяющая условиям (1.3),(1.4).


   Покажем, что разностное уравнение $n$-го порядка (1.2)
   может быть сведено к системе $n$ разностных уравнений
   первого порядка.

   Обозначим
   $$z_1(t)=x(t),z_2(t)=x(t+1),\dots, z_n(t)=x(t+n-1).$$
   Очевидно, что
   $$z_1(t+1)=z_2(t),z_2(t+1)=z_3(t),\dots,z_{n-1}(t+1)=z_n(t).$$
   Из уравнения (1.2) следует,что
   $$z_n(t+1)=-p_1(t)z_n(t)-\dots-p_n(t)z_1(t)+f(t).$$
   Мы приходим, таким образом, к системе
   $$\left.\begin{array}{l}z_1(t+1)=z_2(t),\\
   z_2(t+1)=z_3(t),\\
   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\
   z_{n-1}(t+1)=z_n(t),\\
   z_n(t+1)=-p_n(t)z_1(t)-\dots-p_1(t)z_n(t)+f(t).\end{array}
   \right\}\eqno (1.5)$$

Далее будем изучать систему разностных уравнений
$$\left.\begin{array}{l}
x_1(t+1)=a_{11}(t)x_1(t)+a_{12}(t)x_2(t)+\dots+a_{1n}(t)x_n(t)+f_1(t),\\
x_2(t+1)=a_{21}(t)x_1(t)+a_{22}(t)x_2(t)+\dots+a_{2n}(t)x_n(t)+f_2(t),\\
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . \\
x_n(t+1)=a_{n1}(t)x_1(t)+a_{n1}(t)x_2(t)+\dots+a_{nn}(t)x_n(t)+f_n(t),
\end{array}\right\}\eqno(1.6)$$
частным случаем которой является система (1.5).

В векторной форме система (1.6) записывается в виде
$$
x(t+1)=A(t)x(t)+f(t). \eqno (1.7)$$
Здесь
 $x(t)$ и $y(t)$ - $n$-мерные вектор-столбцы
 $$
x(t)=\left(\begin{array}{c}x_1(t)\\x_2(t)\\ \vdots\\ x_n(t)\end{array}\right),
f(t)=\left(\begin{array}{c}f_1(t)\\f_2(t)\\ \vdots\\ f_n(t)\end{array}\right),$$

 $A(t)$ -$n\times n$ матрица
$$
A(t)=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11}(t)&a_{12}(t)&\ldots&a_{1n}(t)\\
a_{21}(t)&a_{22}(t)&\ldots&a_{2n}(t)\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}(t)&a_{n2}(t)&\ldots&a_{nn}(t) \end{array}\right).\eqno(1.8)$$

Пусть задано некоторое число $t_0.$ Отрезок $[t_0,t_0+1]$ будем называть
начальным отрезком и обозначать $E_{t_0}.$ На отрезке $E_{t_0}$
задается начальная вектор-функция $\varphi(t)$ и требуется, чтобы решение
$y(t)$ уравнения (1.9) удовлетворяло начальному условию
$$
y(t)=\varphi(t), t\in E_{t_0}.\eqno (1.9)$$

{\sc Теорема 1.1.}{\sl Пусть на $E_{t_0}$ задана непрерывная начальная
вектор-функция $\varphi(t),$ удовлетворяющая условию согласования
$$
\varphi(t_0+1)=A(t_0)\varphi(t_0)+f(t_0),\eqno (1.10)$$
а матрица $A(t)$ и вектор-функция $f(t)$ непрерывны на отрезке
$[t_0,T],(T>t_0+1).$

Тогда на отрезке $[t_0+1,T]$ существует единственное непрерывное
решение начальной задачи (1.7),(1.9), образующее вместе с
начальной функцией $\varphi(t)$ функцию непрерывную на $[t_0,T].$}
\quad\black

{\it Доказательство.}Пусть $t\in (t_0+1,t_0+2).$ Тогда в силу (1.9)
$$
x(t+1)=A(t)\varphi(t)+f(t).$$
Этим решение определено на $(t_0+1,t_0+2)$  и оно непрерывно.
Из (1.10) следует, что оно непрерывно в точке $t_0+1.$ Пусть
непрерывное решение определено таким образом на $[t_0,t_0+k).$
Тогда подставляя это решение в уравнение (1.7), получаем, что
оно существует и непрерывно на $(t_0+k,t_0+k+1),$ а непрерывность
его в точке $t_0+k$  следует из того, что справедливо равенство
$$x(t_0+k)=A(t_0+k-1)x(t_0+k-1)+f(t_0+k-1).$$

Так как на каждом шаге решение определяется единственным
образом, то решение единственно на $[t_0,T].$ \quad\rule{5pt}{5pt}

Метод доказательства этой теоремы называется {\it методом шагов}
и может быть применен для нахождения решений.

 {\sc Теорема 1.2.}{\sl Пусть функции $p_1(t),\dots,p_n(t)$ и $f(t)$
  непрерыны  на $[t_0,T]$ и выполнено условие согласования (1.3).
  Тогда существует на $[t_0+n,T]$ единственное решение задачи (1.2),(1.4),
  составляющее вместе с $\varphi(t)$ непрерывную на $[t_0,T]$
  функцию.}

   {\it Доказательство.} Уравнение (1.2) может быть приведено к
   системе вида (1.5) и к соответствующей начальной задаче
   применима теорема 1.1, откуда и вытекает настоящая теорема.
   \quad\black

Обратимся к дискретным решениям уравнения (1.2).
{\it Дискретным решением}
   уравнения (1.2) называется такая последовательность чисел
   $x_0,x_1,\dots,,x_k,\dots.$,что
   $$
   x_{n+k}+x_{n+k-1}p_1(t_0+k)+\dots +x_kp_n(t_0+k)=f(t_0+k)\eqno(1.11)$$
   для $k=0,1,\dots.$ Очевидно, что если заданы числа
   $t_0,x_0,x_1,\dots ,x_{n-1}$, то дискретное решение
   рекуррентно определяется по формуле (1.11) единственным
   образом. Числа $x_0,x_1,\dots,x_{n-1}$ называются {\it
   начальными значениями}, а $t_0$ --{\it начальной точкой.}
   Если $x(t)$ -- непрерывное решение уравнения (1.2), то
   последовательность значений $x(t_0),x(t_0+1),\dots,x(t_0+k),
   \dots.$ ,будет дискретным решением уравнения (1.11).



{\it Дискретным решенеием} системы (1.7) называется такая
последовательность векторов $x^0,x^1,\dots,x^k,\dots,$ что
$$
x^{k+1}=A(t_0+k)x^k+f(t_0+k).\eqno (1.12)$$

Очевидно, что дискретное решение определяется по формуле (1.12)
рекуррентно единственным образом, если задан {\it начальный
вектор} $x^0.$  и начальная точка $t_0.$

Если $x(t)$ - непрерывное решение уравнения  (1.7) , то
последовательность
$x(t_0),x(t_0+1),\dots,x(t_0+k),\dots.$ будет дискретным
решением уравнения (1.7).               \bigskip

{\large 1.2. Линейные однородные разностные уравнения и системы уравнений.}
\bigskip

Будем изучать дискретные решения  однородного
разностного уравнения
$$
x(t+n)+p_1(t)x(t+n-1)+p_2(t)x(t+n-2)+\dots+p_n(t)x(t)=0.\eqno (1.13)$$
и системы линейных однородных разностных уравнений, записанной
в векторно-матричной форме
$$
x(t+1)=A(t)x(t).\eqno (1.14)$$

Как показано выше, с помощью замены неизвестных функций  уравнение (1.13)
может быть сведено к системе вида (1.14). Поэтому далее теоремы
будут доказываться для систем, а аналогичные теоремы для уравнений
будут выводится как следствия из этих теорем.

Оператор $L(x)=x(t+1)-A(t)x(t)$
 является линейным оператором и для него
справедливы теоремы доказанные во введении.
Без ограничения общности можно положить $t_0=0$ и $t=k$ и тогда
уравнения (1.13) и (1.14) запишутся в виде
$$
x(k+n)+p_1(k)x(k+n-1)+p_2(k)x(k+n-2)+\dots+p_n(k)x(k)=0\eqno(1.15)$$
и
$$x(k+1)=A(k)x(k).\eqno(1.16)$$

Рассмотрим $n$ решений уравнения (1.16) $$x^1(k),x^2(k),\dots,x^n(k),
\eqno(1.17)$$
которые удовлетворяют начальным условиям
$$\left.\begin{array}{c}
x^1(0)=x^1_0=(x_{11}^0,x_{21}^0,\dots,x_{n1}^0),\\
x^2(0)=x^2_0=(x_{12}^0,x_{22}^0,\dots,x_{n2}^0),\\
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .\\
x^n(0)=x^n_0=(x_{1n}^0,x_{2n}^0,\dots,x_{nn}^0),
\end{array}\right\}\eqno (1.18)$$
и обозначим
$$
W(k)=\left(\begin{array}{cccc}
x_{11}(k)&x_{12}(k)&\ldots&x_{1n}(k)\\
x_{21}(k)&x_{22}(k)&\ldots&x_{2n}(k)\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
x_{n1}(k)&x_{n2}(k)&\ldots&x_{nn}(k)\end{array}\right).\eqno(1.19)$$
В столбцах этой матрицы стоят координаты векторов (1.17).
Определитель этой матрицы в теории  разностных
уравнений играет ту же роль, что определитель Вронского
в теории дифференциальных уравнений.
Совокупность решений (1.17) уравнения (1.16) называется
{\it фундаментальной системой решений,}
если векторы $x^1(0),x^2(0),\dots,x^n(0)$ линейно независимы.
В этом случае отличен от нуля
определитель $\left|W(0)\right|$, а
матрица $W(k)$ называется {\it фундаментальной матрицей.}

Если вектор-функции (1.17) являются решениями уравнения (1.16),то
матрица $W(k)$ является решением уравнения
$$
W(k+1)=A(k)W(k),\eqno(1.20)$$
так как каждый ее столбец есть решение  уравнения (1.16).

{\sc Теорема 1.3.}\,{\sl Пусть $x^1(k),x^2(k),\dots,x^n(k)$-
фундаментальная система решений уравнения (1.16). Тогда его
произвольное решение  $\tilde x(k)$ может быть представлено
в виде
$$
\tilde x(k)=C_1x^1(k)+C_2x^2(k)+\dots+C_nx^n(k),\eqno(1.21)$$
где $C_1,C_2,\dots,C_n$ -- постоянные числа.}

{\it Доказательство.} В силу пункта 1.1 между начальными
векторами  и  решениями (1.17) условиями (1.18) установлено
взаимно-однозначное соответствие, которое, как легко
видеть, является изоморфизмом между пространством начальных
векторов и пространством решений. Так как пространство
начальных векторов есть линейное векторное $n$-мерное
пространство, то и пространство решений,
которое в силу теоремы 0.1 является линейным пространством,
имеет размерность $n$.
По определению фундаментальной системы $|W(0)|\not=0$ и начальные
векторы линейно независимы, а, следовательно, в силу
изоморфизма линейно независимы решения (1.17).
Их число равно размерности пространства решений и они
образуют базис в этом пространстве.  Всякий элемент
 этого пространства представим в виде линейной комбинации
 элементов базиса. Значит существуют такие
 постоянные $C_1,C_2,\dots,C_n$, что справедливо равенство
 (1.21).\quad\rule{5pt}{5pt}

Вернемся теперь к уравнению (1.15).Пусть заданы $n$ решений
этого уравнения
$$x_1(k),x_2(k),\dots,x_n(k),\eqno (1.22)$$
которые определяются начальными условиями
$$
\left.\begin{array}{cccc}
x_1(0)=x_{10},&x_1(1)=x_{11},&\ldots,&x_1(n-1)=x_{1,n-1},\\
x_2(0)=x_{20},&x_2(1)=x_{21},&\ldots,&x_2(n-1)=x_{2,n-1},\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
x_n(0)=x_{n0},&x_n(1)=x_{n0},&\ldots,&x_n(n-1)=x_{n,n-1}.
\end{array}\right\}\eqno(1.23)$$

Обозначим
$$
V(k)=\left|\begin{array}{cccc}
x_1(k)&x_2(k)&\ldots&x_n(k)\\
x_1(k+1)&x_2(k)&\ldots&x_n(k+1)\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
x_1(k+n-1)&x_2(k+n-1)&\ldots&x_n(k+n-1)
\end{array}\right|.\eqno(1.24)$$

Этот определитель в теории разностных уравнений играет ту же роль,
что определитель Вронского в теории дифференциальных уравнений.

Решения (1.22), определяемые начальными условиями (1.23), образуют
{\it фундаментальную систему решений} уравнения (1.15),
если$|V(0)|\neq0.$

{\sc Теорема 1.4.}{\sl Если решения (1.22) образуют фундаментальную
систему решений  уравнения (1.15),
 то любое решение $\tilde x(k)$ может быть
представлено в виде
$$
\tilde x(t)=C_1x_1(k)+C_2x_2(k)+\dots+C_nx_n(k),\eqno (1.25)$$
где $C_1,C_2,\dots,C_n$-- постоянные числа.}

{\it Доказательство.} Переходя от уравнения (1.15) к системе
вида  (1.5) и применяя теорему 1.3, получаем требуемое
утверждение.\quad\black

{\sc Теорема 1.5.}{\sl Если $x^1(k),x^2(k),\dots,x^n(k)$--
фундаментальная система решений уравнения (1.16) и матрица
$A(k)$ не вырождена для $k=0,1,\dots$, то матрица $W(k)$ также
не вырождена для $k=1,2,\dots.$}


{\it Доказательство.} Утверждение теоремы вытекает из того,
что столбцами матрицы $W(k)$ являются вектор-функции составляющие
фундаментальную систему решений, и равенства  (1.20).\quad
\rule{5pt}{5pt}

{\sc Теорема 1.6.}{\sl Если $x_1(k),x_2(k),\dots,x_n(k)$--
фундаментальная система решений уравнения (1.15) и
$p_n(k)\neq 0$ для $k=0,1,\dots,$ то $V(k)\neq 0$ для
$k=1,2,\dots$.}

{\it Доказательство.} Если перейти от уравнения (1.15) к
системе вида (1.5), то определитель матрицы соответствующей
матрице $A(k)$ , будет равен $[-p_n(k)]$, откуда и
 следует утверждение теоремы.\quad\black


Выражение (1.21) называется {\it общим решением} однородного
уравнения (1.16).Введем вектор $C=(C_1,C_2,\dots,C_n).$ Тогда общее
решение уравнения (1.16) запишется в виде
$$
 x(k)=W(k)C.\eqno(1.26)$$
Фундаментальная система называется {\it нормальной фундаменталь\-ной
системой}, а $W(k)$ - {\it нормальной фундаментальной матрицей,}
если $W(0)=E,$ где $E$- единичная матрица.Если в (1.26) подставить
нормальную фундаментальную матрицу, то получим, что в этом случае
общее решение записывается в виде
$$
x(k)=W(k)x(0).\eqno(1.27)$$

Общее решение уравнения (1.15) имеет вид
$$
x(k)=C_1x_1(k)+C_2x_2(k)+\dots+C_nx_n(k)\eqno (1.28)$$
где $x_1(k),x_2(k),\dots,x_n(k)$-фундаментальная система
решений урав\-нения (1.15).

 {\it Нормальной фундаментальной
системой,} решений уравнения (1.15) называется такая система,
для которой матрица составленная из столбцов стоящих в правых
частях в  формулах (1.23), является единичной
матрицей.Если фундаментальная система решений уравнения
(1.15) является нормальной, то произвольное решение $x(k)$
представимо в виде
$$
x(k)=x_1(k)x(0)+x_2(k)x(1)+\dots+x_n(k)x(n-1).\eqno(1.29)$$
\newpage
{\large 1.3. Линейные неоднородные разностные уравнения и системы уравнений.}
\bigskip

Рассмотрим линейное неоднородное разностное уравнение
$$
x(k+n)+p_1(k)x(k+n-1)+p_2(k)x(k+n-2)+\dots+p_n(k)x(k)=f(k)\eqno(1.30)$$
и систему линейных неоднородных разностных уравнений, записан\-ную в
векторной форме
$$
x(k+1)=A(k)x(k)+f(k).\eqno (1.31)$$

Структура общего решения неоднородной линейной системы разностных
уравнений устанавливается следующей теоремой.

{\sc Теорема 1.7.}{\sl Пусть $x^1(k),x^2(k),\dots,x^n(k)$ -
фундаментальная система решений  однородного
уравнения (1.16), а $x^*(k)$  - какое-нибудь частное решение
уравнения (1.31).Тогда произвольное решение $x(k)$ уравнения
(1.31) может быть представлено в виде
$$x(k)=C_1x^1(k)+C_2x^2(k)+\dots+C_nx^n(k)+x^*(k),\eqno (1.32)$$
где $C_1,C_2,\dots,C_n$ -произвольные постоянные.}

{\it Доказательство.} Очевидно, что разность двух решений
неоднородного уравнения есть решение однородного уравнения и
 поэтому разность $x(k)-x^*(k)$ является решением однородного
 уравнения (1.16) и по теореме 1.3 может быть представлено в виде
 $$
 x(k)-x^*(k)=C_1x^1(k)+C_2x^2(k)+\dots+C_nx^n(k),$$
 что эквивалентно представлению (1.32).\quad\black

 {\sc Теорема 1.8.}{\sl  Пусть $x_1(k),x_2(k),\dots,x_n(k)$
  - фундаментальная система решений однородного уравнения
  (1.15), а $x_*(k)$ - какое-нибудь частное решение уравнения
  (1.30). Тогда произвольное решение уравнения (1.30) может
  быть представлено в виде}
  $$
  x(k)=C_1x_1(k)+C_2x_2(k)+\dots+C_nx_n(k)+x_*(k).\eqno(1.33)$$

  {\it Доказательство.}\,Уравнение (1.30) может быть сведено
  к системе уравнений первого порядка, для которой справедлива
  теорема 1.7. Сделав обратное преобразование к уравнению
  (1.30), получаем утверждение теоремы.\quad\black
  \newpage

  {\large 1.4. Метод вариации постоянных.}
  \bigskip

  Частное решение $x(k)$ неоднородного уравнения (1.31) может быть
  найдено излагаемым здесь методом вариации постоянных, если
  известна фундаментальная система решений однородного уравнения
  (1.16) и фундаментальная матрица $W(k)$, столбцы которой состоят
  из координат этих решений.

  Будем искать частное решение неоднородного уравнения (1.31) в виде
  $$
  x^*(k)=W(k)U(k),\eqno(1.34)$$
  где вектор $U(k)$  подлежит определению. Подставляя (1.34) в
  уравнение (1.31), получаем
  $$
  W(k+1)U(k+1)=A(k)W(k)U(k)+f(k).$$
  Из того, что
  $$
  W(k+1)=A(k)W(k)$$
  следует, что
  $$
  W(k+1)[U(k+1)-U(k)]=f(k)\eqno(1.35).$$
  Мы будем далее предполагать, что $|A(k)|\neq 0$ для $k=0,1,2,\dots$.
  Из теоремы 1.5 следует, что матрица $W(k)$ не вырождена
  для $k=0,1,2,\dots.$ Обозначим $\Delta U(k)=U(k+1)-U(k).$ Тогда
уравнение (1.35) запишется в виде
$$
W(k+1)\Delta U(k)=f(k).\eqno(1.36)$$
Записав уравнение (1.36) в скалярной форме, мы получим систему
линейных неоднородных алгебраических уравнений с определителем
$|W(k+1)|,$ который в силу наших предположений отличен от нуля.
Следовательно, уравнение (1.36) имеет единственное решение,
которое можно записать в виде
$$
U(k+1)-U(k)=\psi(k)\eqno(1.37),$$
где $\psi(k)$ - известная вектор-функция. Задав произвольно $U(0)$
и определив теперь рекуррентно $U(k)$  по формуле (1.37) для
$k=1,2,\dots,$   подставим этот вектор в формулу (1.34) и найдем
некоторое частное решение уравнения (1.31). Описанный алгоритм и носит
 название метода вариации постоянных и был впервые предложен Лагранжем
 для нахождения частных решений линейных неоднородных дифференциальных
 уравнений.

 Однако, уравнение (1.36) можно решать не переходя к скалярной форме
 записи. Как отмечено выше, в силу наших предположений $|W(k)|\neq 0$
 для $k=0,1,2,\dots$  и поэтому существует обратная матрица $W^{-1}(k).$
 Умножая уравнение (1.36) на $W^{-1}(k+1),$ получаем
 $$
 U(k+1)-U(k)=W^{-1}(k+1)f(k).\eqno (1.38)$$
 Вновь задав произвольно вектор $U(0),$ определим из этого уравнения
 рекуррентно $U(k)$ для $k=1,2,\dots.$

 Записав последовательно
 $$
\begin{array}{l}
 U(1)=U(0)+W^{-1}(1)f(0),\\
 U(2)=U(1)+W^{-1}(2)f(1),\\
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..\\
 U(k)=U(k-1)+W^{-1}(k)f(k-1),\end{array}$$
 получаем
 $$
 U(k)=U(0)+\sum_{i=1}^kW^{-1}(i)f(i-1).\eqno(1.39)$$

Так как мы ищем одно частное решение, то мы можем положить
$U(0)=0$  и подставляя выражение для $U(k)$  в формулу
(1.34), получим
$$
x^*(k)=W(k)\sum_{i=1}^kW^{-1}(i)f(i-1),$$
или
$$
x^*(k)=\sum_{i=1}^kW(k)W^{-1}(i)f(i-1).\eqno (1.40)$$

Выражение $W(k)W^{-1}(i)$  является аналогом ядра Коши,
которое входит в формулу интегрального представления
частного решения системы линейных неоднородных
дифференциальных уравнений.

Общее решение уравнения (1.31)  представляется в виде
$$
\begin{array}{c}
x(k)=u_1x^1(k)+u_2x^2(k)+\dots+u_nx^n(k)+\\
+\sum_{i=1}^kW(k)W^{-1}(i)f(i-1). \end{array}$$

Изложим теперь метод вариации постоянных для наxождения частного
решения уравнения (1.30). Решение $x_*(k)$ будем искать в виде
$$
x_*(k)=u_1(k)x_1(k)+u_2(k)x_2(k)+\dots+u_n(k)x_n(k),\eqno(1.41)$$
где $x_1(k),x_2(k),\dots,x_n(k)$ - фундаментальная система
решений однородного уравнения (1.15), а
$u_1(k),u_2(k),\dots,u_n(k)$ - неизвестные функции, которые
следует определить таким образом, чтобы выражение (1.41) стало
решением уравнения (1.30). Переходя от уравнения (1.30) к системе
(1.31) и применяя метод вариации постоянных для системы, получим
систему уравнений аналогичную системе  (1.36),которая будет иметь
вид
$$
\left.\begin{array}{c}
\sum_{i=1}^n\Delta u_i(k)x_i(k+1)=0,\\
\sum_{i=1}^n\Delta u_i(k)x_i(k+2)=0,\\
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .\\
\sum_{i=1}^n\Delta u_i(k)x_i(k+n-1)=0,\\
\sum_{i=1}^n\Delta u_i(k)x_i(k+n)=f(k).\end{array}\right\}\eqno
(1.42)$$
Будем предполагать, что $p_n(k)\neq 0.$
Система (1.42) является системой линейных неоднородных
алгебраических уравнений с определителем равным $|V(k+1)|$,
который, в силу теоремы 1.6 отличен от нуля. Следовательно, система
(1.42) имеет единственное решение
$$
\Delta u_1(k)=\psi_1(k),\Delta u_2(k)=\psi_2(k),\dots,\Delta u_n(k)=\psi_n(k).
\eqno(1.43)$$
Задав произвольно $u_i(0)$, найдем из (1.43) значения $u_i(k)$.
Если положить $u_i(0)=0,$ то получим
$u_i(k)=\psi_i(k-1).$ Теперь частное решение неоднородного
уравнения (1.30) записывается в виде
$$
x_*(k)=\sum_{i=1}^n\psi_i(k-1)x_i(k).$$

{\large 1.5. Линейные разностные уравнения и системы уравнений с
постоянными коэффициентами.}
\bigskip

Решение  разностного уравнения с постоянными
коэффициентами
$$
a_0x(k+n)+a_1x(k+n-1)+\dots+a_nx(k)=0\eqno(1.44)$$
будем искать в виде $x=z^k,$ где $z$ - число подлежащее определению.
После подстановки в уравнение (1.44) и сокращения на $z^k,$ получаем
уравнение
$$
a_0z^n+a_1z^{n-1}+\dots+a_n=0.\eqno(1.45)$$
Это уравнение называется {\it характеристическим уравнением.}

Предположим что уравнение (1.45) имеет все различные действительные
корни $z_1,z_2,\dots,z_n.$ Тогда мы получим $n$ решений уравнения
(1.44)
$$
x_1=z_1^k,x_2=z_2^k,\dots,x_n=z_n^k\eqno(1.46).$$

Если эти функции линейно независимы, то общее решение уравнения
(1.44) имеет вид
$$
x=C_1z_1^k+C_2z_2^k+\dots+C_nz_n^k.\eqno(1.47)$$

Покажем, что функции (1.46) линейно независимы. Предположим противное.
Пусть существуют такие числа $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n,$
не все равные нулю, что
$$
\alpha_1z_1^k+\alpha_2z_2^k+\dots+\alpha_nz_n^k\equiv0.\eqno(1.48)$$
Так как коэффициенты уравнения постоянны,то тождество (1.48) должно
выполняться при всех натуральных $k.$
Предположим сначала, что существует наибольший по абсолютной величине
корень $z_i$ уравнения (1.45), среди тех, коэффициенты
$\alpha_j$ при которых отличны от нуля.
 Тогда для всех натуральных $k$ должно
выполняться равенство
$$
\alpha_1\left(\frac{z_1}{z_i}\right)^k+\alpha_2\left(\frac{z_2}{z_i}
\right)^k+\dots+\alpha_i+\dots+\alpha_n\left(\frac{z_n}{zi}\right)^k=0$$
Но это невозможно, так как для всех номеров $j\neq i,$ для которых
$\alpha_j\neq 0,$ будет
$\left|\frac{z_j}{z_i}\right|<1 $ и $\lim_{k\to+\infty}\left(\frac{z_j}{z_i}
\right)^k=0,$  и по нашему предположению $\alpha_i\neq 0$ а предел суммы
 конечного числа бесконечно малых последовательностей
 не может быть равен отличному от нуля числу.

Рассмотрим теперь случай, когда среди корней, при которых
стоят отличные от нуля  коэффициенты, наименьший $z_\mu$ и наибольший
$z_\nu$ равны по абсолютной величине.Тогда для всех $k$
$$
\alpha_1\left(\frac{z_1}{z_\nu}\right)^k+\dots+
\alpha_\mu(-1)^k+\dots+\alpha_\nu+\dots+
\alpha_n\left(\frac{z_n}{z_\nu}\right)^k=0.$$
Так как для любого номера $j$  не равного $\mu$ или $\nu$ будет
$\left|\frac{z_j}{z_\nu}\right|<1,$ и $\lim_{k\to+\infty}\left(
\frac{z_j}{z_\nu}\right)^k=0,$ то переходя к пределу, мы получаем
$$
\lim_{k\to+\infty}\alpha_\mu(-1)^k+\alpha_\nu=0,$$
что противоречиво.

Таким образом мы доказали линейную независимость функций (1.46).
\bigskip

{\small\sc Пример.}{\small Решить уравнение
$$
x(k+2)-3x(k+1)+2x(k)=0$$
Характеристическое уравнение $z^2-3z+2=0$ имеет корни $z_1=1,z_2=2.$
Следовательно, общим решением этого уравнения будет $x=C_1+C_22^k.$}
\bigskip

Если характеристическое уравнение (1.45) имеет комплексный корень
$z=\alpha+i\beta,$ то, так как коэффициенты $a_0,a_1,\dots,a_n$
действительны, то оно будет иметь и комплексно сопряженный корень
$z=\alpha-i\beta.$ Если комплекснозначная функция $w(k)=
u(k)+iv(k)$ является решением однородного уравнения (1.44), то
по теореме 0.4 из введения $u(k)$ и $v(k)$ также будут решениями
уравнения (1.44).Потому комплекснозначному решению $w=(\alpha+i\beta)^k$
будут соответствовать два действительных решения. Для того, чтобы
найти эти решения, запишем $z=\alpha+i\beta$ в тригонометрической
форме  $\alpha+i\beta=\rho(\cos\varphi+i\sin\varphi),$ где
$\rho$ - модуль($\rho=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$),
а $\varphi$ - аргумент  $(\varphi =arctg\frac \beta\alpha)$ числа $z.$
Тогда  
$(\alpha+i\beta)^k=\rho^k(\cos k\varphi +i\sin k\varphi).$
и действительными решениями будут
$$
u(k)=\rho^k\cos k\varphi,\quad v(k)=\rho^k\sin k\varphi.\eqno(1.49)$$
Легко проверить, что сопряженному корню соответствуют решения
$u(k)$ и $-v(k)$ линейно зависимые с решениями (1.49), а также,
что совокупность решений (1.46) и (1.49) образуют линейно
независимую систему.
\bigskip

{\small\sc Пример.}{\small Решить уравнение
$$
x(k+2)+2x(k+1)+4x(k)=0.$$
Характеристическое уравнение $z^2+2z+4=0$ имеет корни $z_{1,2}=
-1\pm \sqrt 3i.$ Вычисляем $\rho=2,\varphi=\frac{4\pi}3.$
Общее решение имеет вид $$
x(k)=C_12^k\cos\frac{4\pi}3k+C_22^k\sin\frac{4\pi}3k.$$ }\bigskip

Обратимся теперь к общему случаю, когда характеристическое
уравнение имеет кратные корни. Изложим метод решения разностных
уравнений, опирающийся на преобразование Лорана.Тео\-рия
преобразования Лорана изложена в Главе 2.

Обозначим $X(z)$  преобразование Лорана решения $x(k)$
уравнения (1.44), удовлетворяющего начальным условиям
$$
x(0)=x_0,x(1)=x_1,\dots,x(n-1)=x_{n-1}.\eqno(1.50)$$

Из теоремы опережения для преобразования Лорана и (1.50)
следует
$$
x(k+n)\Llra z^nX(z)-(x_0z^{n-1}+x_1z^{n-2}+\dots+x_{n-1}).$$
Применяя эту формулу к каждому слагаемому в формуле (1.44),
получим
$$\begin{array}{l}
{}a_0[z^nX(z)-(x_0z^{n-1}+x_1z^{n-2}+\dots+x_{n-1}]+\\
 +a_1[z_{n-1}X(z)-(x_0z^{n-2}+x_1z^{n-3}+\dots+x_{n-2}]+\\
 +\dots+a_nX(z)=0.\end{array}$$
 Решая это уравнение относительно $X(z),$ получаем
 $$\left.\begin{array}{c}
 X(z)=[x_0(a_0z^{n-1}+a_1z^{n-2}+\dots+a_{n-1})+\\
     + x_1(a_0z^{n-2}+a_1z^{n-3}+\dots+a_{n-2})+\\
     +\dots+x_{n-1}a_0]\times (a_0z^n+a_1z^{n-1}+\dots+a_n)^{-1}
     \end{array}\right\}.\eqno(1.51)$$

Оригинал $x(k)$ соответствующий этому изображению $X(z)$ будет
решением начальной задачи (1.44),(1.50).Исследуем структуру этого
решения. Формулу (1.51) можно представить в виде

$$
X(z)=\frac{P(z)}{Q(z)},\eqno(1.52)$$
где $P(z)$ и $Q(z)$ - многочлены, причем степень $P(z)$ меньше
степени $Q(z)$. Произведя разложение $P(z)/Q(z)$ на сумму
элементарных дробей, получим
$$
X(z)=\sum_{i=1}^q\sum_{j=1}^{\alpha_i}\frac{A_{ij}}{(z-z_i)^j},
\eqno(1.53)$$
где  $z_i$ - нули $Q(z).$ Применяя теорему линейности
преобразования Лорана и формулу (2.14), получаем
$$
x(k)=\sum_{i=1}^q\sum_{j=1}^{\alpha_i}\frac{A_{ij}}{z_i^{j-1}}z_i^kC_k^{j-1}.
\eqno(1.54)$$

{\small {\sc Пример.} Найти решение уравнения
$$
x(k+3)-5x(k+2)+8x(k+1)-4x(k)=0,$$
удовлетворяющее начальным условиям
$$
x(0)=0,x(1)=2,x(2)=1.$$
По формуле (1.51) получаем
$$
X(z)=\frac{2(z-5 )+1}{z^3-5z^2+8z-4}=\frac{2z-9}{(z-1)(z-2)^2}.$$
Производя разложение на сумму элементарных дробей,находим
$$
X(z)=-\frac{7}{z-1}+\frac7{z-2}-\frac5{(z-2)^2}.$$
Находя по этому изображению его оригинал, получаем
$$
x(k)=-7+7(2^k)-\frac522^kk.$$}

Вместо того, чтобы производить разложения на сумму элементарных
дробей,а затем использовать теорему о линейности преобразования
Лорана,можно воспользоваться теоремой разложения для
преобразования Лорана (см. Гл.2, теорема 2.2) и искать
решение в виде
$$
x(k)=\sum_i\begin{array}{c}{}\\
\mbox{res}\\z_i\end{array}[X(z)z^k],\eqno(1.55)$$
где сумма распространяется на все особые точки функции $X(z)$.

{\small {\sc Пример.} Найти решение уравнения
$$
x(k+2)-5x(k+1)+6x(k)=0,$$
удовлетворяющее начальным условиям
$$
x(0)=1,x(1)=2.$$
По формуле (1.51) получаем
$$
X(z)=\frac{(z-5)+2}{z^2-5z+6}=\frac 1{z-2}.$$
Находя по этому изображению его оригинал по формуле (1.55), находим }
$$
x(k)=\begin{array}{c}{}\\ \mbox{ res}\\ 2\end{array}
[\frac{z^k}{z-2}]=2^k.$$

Покажем, что зная корни характеристического уравнения можно
определить одну простую фундаментальную систему решений. Пусть
характеристическое уравнение имеет корни
$z_1,z_2,\dots,z_q$  кратностей соответственно $\alpha_1,
\alpha_2,\dots,\alpha_q.$ Тогда совокупность функций
$$
z_1^k,kz_1^k,\dots,k^{\alpha_1-1}z_1^k,\dots
z_q^k,kz_q^k,\dots,k^{\alpha_q-1}z_q^k$$
является фундаментальной системой решений уравнения (1.44).

Для доказательства этого утверждения нам потребуются две леммы.

{\sc Лемма 1.1.}{\sl Пусть $b(z)=B_0z^{n-1}+B_1z^{n-2}+\dots,
+B_{n-1}$ -многочлен степени не выше ${n-1}$  с произвольными
коэффициентами. Тогда, каковы бы ни были числа $a_0\neq 0,
a_1,a_2,\dots,a_n,$ существуют  такие числа
$x_0,x_1,\dots,x_{n-1},$ что
$$
\begin{array}{c}
x_0(a_0z^{n-1}+a_1z^{n-2}+\dots+a_{n-1})+\\
\phantom{00000000}+x_1(a_0z^{n-2}+\dots
+a_{n-2})+\dots +a_0x_{n-1}=b(z).\end{array}\eqno(1.56)$$
Числа $x_0,x_1,\dots,x_{n-1}$ определяются единственным образом.}

{\sc Доказательство.} Располагая многочлен в левой части равенства
(1.56) по степеням $z,$ получаем
$$\begin{array}{c}
z^{n-1}a_0x_0+z^{n-2}(a_1x_0+a_0x_1)+\dots+(a_{n-1}x_0+\dots
+a_0x_{n-1})=\\
\phantom{00000000}=B_0z^{n-1}+B_1z^{n-2}+\dots+B_{n-1}.
\end{array}$$
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $z,$
находим
$$
\begin{array}{l}
a_0x_0=B_0,\\
a_1x_0+a_0x_1=B_1,\\
.......................\\
a_{n-1}x_0+a_{n-2}x_1+\dots+a_0x_{n-1}=B_{n-1}.
\end{array}$$
Так как $a_0\neq 0,$ то эта система всегда разрешима и
имеет единственное решение. \black

{\sc Лемма 1.2.}{\sl Любой многочлен $P_m(k)$ степени $m$
может быть представлен в виде
$$
P_m(k)=b_0C_k^0+b_1C_k^1+\dots +b_mC_k^m, \eqno(1.57)$$
где $C_k^q={\displaystyle\frac{k(k-1)\dots(k-q+1)}{k!}},b_0,b_1,\dots,b_m$ -
некоторые постоянные.}


{\it Доказательство.} Докажем сначала, что
$$
\Delta_k^q=C_{k+1}^q-C_k^q=C_k^{q-1}.$$
Действительно,
$$          \begin{array}{l}
\Delta C_k^q={\displaystyle\frac{(k+1)k\dots(k-q+2)}{q!}
-\frac{k(k-1)\dots(k-q+1)}{q!}}=\\
={\displaystyle\frac{k(k-1)\dots(k-q+1)}{(q-1)!}}=C_k^{q-1}.\end{array}$$
Применяя оператор $\Delta$ к равенству (1.57) последовательно
$m$ раз,и принимая во внимание, что $0!=1,C_k^0=1$ и что $\Delta C_k^0=0,$
 получим
$$
\left.\begin{array}{c}
\Delta P_m(k)=b_1C_k^0+b_2C_k^1+\dots+b_mC_k^{m-1},\\
\Delta^2P_m(k)=b_2C_k^0+b_3C_k^1+\dots+b_mC_k^{m-2},\\
...................................................\\
\Delta^mP_m(k)=b_mC_k^0.\end{array}\right\}\eqno(1.58)$$

Принимая обычное соглашение о том, что $C_k^l=0$, если
$k<l$ и полагая $k=0$ в (1.57) и (1.58), получаем
$$
b_0=P_m(0),b_1=\Delta P_m(0),\dots,b_m=\Delta^m(0).\black $$


{\sc Теорема 1.9.}{\sl Пусть характеристическое
уравнение $Q(z)=a_0z^n+a_1z^{n-1}+\dots+a_n=0$ имеет корни
$z_1,z_2,\dots,z_q$ кратностей $\alpha_1,\alpha_2,\dots,
\alpha_q$ соответственно. Тогда каждому корню $z_i$
соответству\-ет группа линейно независимых решений
$$
z_i^k,kz_i^k,\dots,k^{\alpha_i-1}z_i^k$$
а общее решение уравнения (1.44) имеет вид}
$$
x(k)=\sum_{j=1}^q(C_{0j}+C_{1j}k+\dots+
C_{\alpha_j-1,j}k^{\alpha_j-1})z_j^k.\eqno(1.59)$$


{\it Доказательство.} Предположим, что $0<m\leq \alpha-1$ и пусть
в силу леммы 1.2 найдены такие числа $b_0,b_1,\dots,b_m,$ что
$$k^m=b_0C_k^0+b_1C_k^1+\dots+b_mC_k^m$$
Каков бы ни был многочлен степени меньшей $n,$ можно в силу леммы 1.1
найти такие числа $x_0,x_1,\dots,x_{n-1},$ что числитель
в правой части формулы (1.51) будет равен этому многочлену.
Поэтому можно так подобрать значения $x_0,x_1,\dots,x_{n-1},$
чтобы было
$$
X(z)=\sum_{j=0}^m\frac{b_jz_i^j}{(z-z_i)^{j+1}}.$$
Для этого, очевидно, нужно подобрать значения $x_0,x_1,\dots,
x_{n-1}$ так, чтобы числитель в формуле (1.51), чтобы получить
числитель в формуле (1.51) равный
$$
\sum_{j=0}^mb_jz_i^j(z-z_1)^{\alpha_1}\dots(z-z_q)^{\alpha_q}.$$

Линейная независимость решений $z_i^k,kz_i^k,\dots,k^{\alpha_i-1}z_i^k$
может быть доказана аналогично тому, как это сделано для случая
простых корней.\black


Если характеристическое уравнение имеет комплексный корень
$z_j=\mu_j+i\nu_j$ кратности $\alpha_j,$ то оно также
имеет и сопряженный корень $\bar z=\mu_j-\nu_j$ той же кратности.
Из теоремы 0.4 следует, что
этой паре комплексно сопряженных корней соответствуют  $2\alpha_j$
действительных решений
 $$
 \left.\begin{array}{c}
 \rho_j^k\cos\omega_jk,k\rho_j^k\cos\omega_jk,\dots,k^{\alpha_j-1}
 \rho_j^k\cos\omega_jk\\
 \rho_j\sin\omega_jk,k\rho_k^k\sin\omega_jk,\dots,k^{\alpha_j-1}
 \rho_j^k\sin\omega_jk.\end{array}\right\}\eqno(1.60)$$
 Здесь
 $$
 \rho_j=\sqrt{\mu_j^2+\nu_j^2} , \quad \omega_j=arctg\frac{\nu_j}{\mu_j}.$$

{\small{\sc Пример 1.} Решить уравнение
$$
x(k+3)+7x(k+2)+15x(k+1)+9x(k)=0$$
Характеристическое уравнение $z^3+7z^2+15z+9=0$ имеет корни
$z_1=-1,z_{2,3}=-3.$ Общее решение имеет вид
$$
x(k)=C_1(-1)^k+(C_2+C_3k)(-3)^k.$$

{\sc Пример 2.} Решить уравнение
$$
x(k+4)+2x(k+2)+x(k)=0.$$
Характеристическое уравнение $ z^4+2z^2+1=0$ имеет корни
$z_{1,2,3,4}=\pm i.$ Общим решением будет
$$
x(k)=(C_1+C_2k)\cos\frac\pi 2k+(C_3+C_4k)\sin\frac\pi 2k.$$

{\sc Пример 3.} Пусть характеристическое уравнение имеет корни
$z_{1,2}=-1,z_{3,4}=2,z_{5,6,7,8}=1\pm i\sqrt3.$ Тогда общее
решение записывается в виде
$$
\begin{array}{c}
x(k)=(C_1+C_2k)(-1)^k+(C_3+C_4k)2^k+\\
+2^k[(C_5+C_6k)\cos\frac\pi 3k+(C_7+C_8k)\sin \frac\pi 3k].
\end{array}$$}

Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение
$$a_0x(k+n)+a_1x(k+n-1)+\dots+a_nx(k)=f(k)\eqno(1.61)$$
с начальными условиями
$$x(0)=x_0,x(1)=x_1,\dots,x(n-1)=x_{n-1}.\eqno(1.62)$$

Применяя преобразование Лорана к уравнению (1.61) и
используя теорему опережения (теорема 2.4) для преобразования
Лорана,точно так же как при выводе формулы (1.51), получаем
$$
\begin{array}{c}
X(z)=[F(z)+x_0(a_0z^{n-1}+a_1z^{n-2}+\dots+a_{n-1})+\\
+x_1(a_0z^{n-2}+a_1z^{n-3}+\dots+a_{n-2})+\dots+x_{n-1}a_0]\times \\
\times(a_0z^n+a_1z^{n-1}+\dots+a_n)^{-1}.\end{array}\eqno(1.63)$$

Для нахождения оригинала может быть использована теорема
разложения для преобразования Лорана (теорема 2.2), из которой
следует,что
$$x(k)=\sum_i\begin{array}{c} {}\\res\\z_i\end{array}[X(z)z^k],
\eqno (1.64)$$
где сумма распространена на все особые точки функции $X(z).$

{\small {\sc Пример.} Решить уравнение
$$
x(k+2)-5x(k+1)+6x(k)=1$$
с начальными условиями $x(0)=0,x(1)=0.$

По формуле (1.63) получаем
$$
X(z)=\frac{\frac1{z-1}}{z^2-5z+6}=\frac1{(z-1)(z-2)(z-3)}.$$

Используя формулу (1.64), находим}
$$
x(k)=\sum_i\begin{array}{c}{}\\res\\z_i\end{array}\frac{z^k}
{(z-1)(z-2)(z-3)}=\frac 12-2^k+\frac 12 3^k.$$

 Для отыскания решения уравнения (1.61) с нулевыми начальными
 условиями можно воспользоваться теоремой о свертке (теорема 2.5).
 Из формулы (1.63) при нулевых начальных условиях следует
 $$
 X(z)=F(z)R(z),$$
 где
 $$
 R(z)=\frac 1{a_0z^n+a_1z^{n-1}+\dots+a_n}.$$
 Если $\tilde r(k)\Llra \frac{R(z)}z,$ то произведению $F(z)R(z),$ а
 следовательно, и $X(z)$ по теореме о свертке соответствует
 оригинал
 $$
 x(k)=\sum_i^k f(i)\tilde r(k-i),$$
 который и будет решением уравнения (1.61) с нулевыми начальными
 условиями.

 Рассмотрим систему линейных однородных разностных уравне\-ний с
 постоянными коэффициентами
 $$
 \left.\begin{array}{c}
x_1(k+1)=a_{11}x_1(k)+a_{12}x_2(k)+\dots+a_{1n}x_n(k),\\
x_2(k+1)=a_{21}x_1(k)+a_{22}x_2(k)+\dots+a_{2n}x_n(k),\\
.................................................................\\
x_n(k+1)=a_{n1}x_1(k)+a_{n2}x_2(k)+\dots+a_{nn}x_n(k).
\end{array}\right\}\eqno(1.65)$$

Будем искать решение этой системы в виде
$$
x_1=\gamma_1z^k,x_2=\gamma_2z^k,\dots,x_n=\gamma_nz^k,
\eqno(1.66)$$
где $\gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_n$ и $z$-числа
подлежащие определению.  Подставляя (1.66) в систему
(1.65) и сокращая на $z^k,$ получаем систему уравнений
$$
\begin{array}{c}
\gamma_1z=a_{11}\gamma_1+a_{12}\gamma_2+\dots+a_{1n}\gamma_n,\\
\gamma_2z=a_{21}\gamma_1+a_{22}\gamma_2+\dots+a_{2n}\gamma_n,\\
....................................................\\
\gamma_nz=a_{n1}\gamma_1+a_{n2}\gamma_2+\dots+a_{nn}\gamma_n,
\end{array}$$
которая может быть записана в виде
$$
\left.\begin{array}{c}
(a_{11}-z)\gamma_1+a_{12}\gamma_2+\dots+a_{1n}\gamma_n=0,\\
a_{21}\gamma_1+(a_{22}-z)\gamma_2+\dots+a_{2n}\gamma_n=0,\\
.........................................................\\
a_{n1}\gamma_1+a_{n2}\gamma_2+\dots+(a_{nn}-z)\gamma_n=0.
\end{array}\right\}\eqno(1.67)$$

Для того, чтобы система (1.67) имела ненулевые решения, необходимо
и достаточно, чтобы был равен нулю определитель этой системы
$$
\left|\begin{array}{cccc}
a_{11}-z&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}-z&\ldots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}-z
\end{array}\right|=0.\eqno(1.68)$$
Уравнение (1.68) называется {\it характеристическим уравнением} для
системы (1.65).

Предположим, что характеристическое уравнение  (1.68) имеет $n$
различных действительных корней $z_1,z_2,\dots,z_n.$ Подставляя
корень $z_i$ в систему (1.67) и решая ее, найдем ненулевое
решение $\gamma_{1i},\gamma_{2i},\dots,\gamma_{ni}.$
Следовательно, корню $z_i$ будет соответствовать решение
системы (1.65)
$$
x_{1i}=\gamma_{1i}z_i^k,x_{2i}=\gamma_{2i}z_i^k,\dots,
\gamma_{ni}z_i^k.\eqno(1.69)$$

Заметим, что так как система(1.67) однородна, то ее решение
определяется с точностью до постоянного множителя. Поэтому
и решение (1.69) определено с точностью до постоянного
множителя. Аналогично тому, как это сделано для случая одного
уравнения $n$-го порядка, можно показать, что решения вида
(1.69) линейно независимы и  образуют фундаментальную
систему решений.

Общее решение системы записывается в этом случае в виде
$$
\begin{array}{c}
x_1=C_1\gamma_{11}z_1^k+C_2\gamma_{12}z_2^k+\dots+
C_n\gamma_{1n}z_n^k,\\
x_2=C_1\gamma_{21}z_1^k+C_2\gamma_{22}z_2^k+\dots+
C_n\gamma_{2n}z_n^k,\\
............................................\\
x_n=C_1\gamma_{n1}z_1^k+C_2\gamma_{n2}z_2^k+\dots+
c_n\gamma_{nn}z_n^k.\end{array}$$

{\small {\it Пример.} Решить систему
$$
\left\{\begin{array}{c}
x(k+1)=-x(k)-2y(k),\\
y(k+1)=3x(k)+4y(k). \end{array}\right.$$
Составляем характеристическое уравнение
$$
\left|\begin{array}{cc}
-1-z&-2\\
3&4-z
\end{array}\right|=0$$

Оно имеет корни $z_1=1,z_2=2.$ Система (1.67) в данном случае
имеет вид
$$
-(1+z)\gamma_1-2\gamma_2=0,\quad 3\gamma_1+(4-z)\gamma_2=0.$$
Подставляя в эту систему корень $z_1=1$ и отбрасывая второе
уравнение, являющееся следствием первого, и полагая произвольно
$\gamma_{11}=1,$ получаем $\gamma_{21}=-1.$ Подставляя
корень $z_2=2$  и полагая  $\gamma_{12}=1,$ получаем
$\gamma_{22}=\frac 32.$ Общее решение имеет вид  }
$$
x(k)=C_1+C_22^k,\quad y(k)=-C_1-\frac 32C_22^k.$$
    \bigskip

Если характеристическое уравнение имеет комплексный корень
$z_j=p+iq,$ то мы можем найти комплексное решение
$$x_1=\gamma_1z_j^k,x_2=\gamma_2z_j^k,\dots,x_n=\gamma_nz_j^k,
$$
где $\gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_n$ -решение системы
(1.67) при $z-z_j.$ Так как $z_j$ -комплексное число, то
числа $\gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_n$ будут в общем случае
также комплексными числами. Действительные и мнимые части этого
решения будут по теореме 0.4 действительными решениями системы
(1.65). Решение, соответствующее сопряженному корню
$\bar z_j=p-iq,$  приводит к решениям линейно зависящим от
решений, соответствующих корню $z_j=p+iq.$ Таким образом,
паре комплексно сопряженных корней характеристического
уравнения соответствует пара линейно независимых действительных
решений.

{\small {\sc Пример.} Решить систему
$$
\left\{\begin{array} {c}
x(k+1)=x(k)-3y(k),\\ y(k+1)=3x(k)+y(k).\end{array} \right.$$
Составляем характеристическое уравнение
$$\left|\begin{array}{cc}
1-z&-3\\
3&1-z \end{array}\right|=0.$$
Оно имеет корни $z_{1,2}=1\pm\sqrt3 i.$ Составляем систему вида
(1.67) и подставляем в нее $z=1+\sqrt3 i.$ Получаем
$$
-\sqrt3i\gamma_1-3\gamma_2=0,\quad 3\gamma_1-\sqrt3 i\gamma_2=0.$$

Второе уравнение является следствием первого и решение
определяется с точностью до постоянного множителя. Положим
$\gamma_1=\sqrt3 i.$ Тогда  $\gamma_2=1,$ и мы получаем
комплексное решение
$$
x=\sqrt3 i(1+\sqrt3 i)^k,\quad y=(1+\sqrt3 i)^k,$$
или
$$
\begin{array}{c}
x=\sqrt3 i 2^k(\cos\frac\pi3k+i\sin\frac\pi3k),\\
y=2^k(\cos\frac\pi3k+\i\sin\frac\pi3k).
\end{array}$$
Отделяя действительные и мнимые части, получаем два действительные
решения
$$
\begin{array}{c}
x_1=-\sqrt32^k\sin\frac\pi3k,\quad y_1=2^k\cos\frac\pi3k,\\
x_2=\sqrt32^k\cos\frac\pi3k,\quad y_2=2^k\sin\frac\pi3k.\end{array}$$
Общее решение имеет вид            }
$$
x=-C_1\sqrt32^k\sin\frac\pi3k+C_22^k\sin\frac\pi3k,$$
$$
y=C_12^k\cos\frac\pi3k+C_22^k\sin\frac\pi3k.$$

Обратимся теперь к общему случаю, когда характеристическое
уравнение может иметь кратные комплексные корни и рассмотрим
систему линейных неоднородных уравнений
$$\left.\begin{array}{c}
x_1(k+1)=a_{11}x_1+a_{12}x_2+\dots+a_{1n}x_n+f_1(k),\\
x_2(k+1)=a_{21}x_1+a_{22}x_2+\dots+a_{2n}x_n+f_2(k),\\
........................................................\\
x_n(k+1)=a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\dots+a_{nn}x_n+f_n(k).
\end{array}\right\}\eqno(1.70)$$
 C начальными условиями
 $$x_1(0)=x_1^0,x_2(0)=x_2^0,\dots,x_n(0)=x_n^0.\eqno(1.71)$$

Применим операционный метод к решению этой системы. Пусть
$$x_1(k)\Llra X_1(z),x_2(k)\Llra X_2(z),\dots,x_n(k)\Llra X_n(z),$$
$$f_1(k)\Llra F_1(z),f_2(k)\Llra F_2(z),\dots,f_n(k)\Llra F_n(z).$$

Используя теорему опережения (теорема 2.5) и начальные условия
(1.71), находим
$$
x_j(k+1)\Llra zX_j(z)-x_j^0,j=1,2,\dots,n.$$
Введя обозначение
$$
\varphi_j(z)=-F_j(z)-x_j^0,j=1,2,\dots,n$$
 и применяя к (1.70) преобразование Лорана, получаем систему
 линейных неоднородных алгебраических уравнений относительно
 неизвестных $X_1(z),X_2(z),\dots,X_n(z)$
 $$
 \left.\begin{array}{c}
 (a_{11}-z)X_1+a_{12}X_2+\dots+a_{1n}X_n=\varphi_1(z),\\
 a_{21}X_1+(a_{22}-z)X_2+\dots+a_{2n}X_n=\varphi_2(z),\\
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .\\
 a_{n1}X_1+a_{n2}X_2+\dots+(a_{nn}-z)X_n=\varphi_n(z).
 \end{array}\right\}\eqno(1.72)$$
 Решив эту систему и найдя оригиналы для $X_1(z),X_2(z),
 \dots,X_n(z),$ получим решение системы (1.70).

 Решение системы (1.72) может быть получено, например, по
 формулам Крамера
 $$
 X_j=\frac{\Delta_j}\Delta,j=1,2,\dots,n,\eqno(1.73)$$
 где  определитель $\Delta$ -это определитель, стоящий
 в левой части характеристического уравнения (1.68), а
 определители $\Delta_j$ получа\-ются из определителя
 $\Delta$ заменой $j$-го столбца столбцом из правых
 частей системы (1.72).

 {\small {\sc Пример.} Решить систему разностных уравнений
 $$
\left\{ \begin{array}{c}
 x(k+1)=4x(k)-y(k)+1,\\
 y(k+1)=x(k)+2y(k).\end{array}\right.$$
 Переходя к изображениям по Лорану, получем систему
 уравнений
 $$
 \begin{array}{c}
 zX-x_0=4X-Y+\frac1{z-1},\\
 zY-y_0=X+2Y,\end{array}$$
 или
 $$
 \begin{array}{c}
 (4-z)X-Y=-x_0-\frac1{z-1},\\
 X+(2-z)Y=-y_0.\end{array}$$
 Решая эту систему, получаем
 $$
 \begin{array}{c}
X=-{\displaystyle\frac1{(z-3)^2}}[(2-z)x_0+\frac{2-z}{z-1}+y_0],\\
Y=-{\displaystyle\frac1{(z-3)^2}}[(4-z)y_0-x_0-\frac1{z-1}].\end{array}$$
Произведя элементарные преобразования, будем иметь
$$\begin{array}{c}
X={\displaystyle\frac{x_0-\frac14}{z-3}-\frac{y_0-x_0-\frac12}{(z-3)^2}
-\frac14\frac1{z-1}},\\
Y={\displaystyle\frac{y_0-\frac14}{z-3}-\frac{y_0-x_0-\frac12}{(z-3)^2}
+\frac14\frac1{z-1}}.\end{array}$$
Используя формулу
$$
C_k^q\lambda^k\Llra\frac{\lambda^q}{(z-\lambda)^{q+1}},
\eqno(1.74)$$
находим окончательно                                }
$$ \begin{array}{c}
x(k)=(x_0+\frac14 )3^k-\frac13 (y_0-x_0-\frac12 )k3^k-\frac14,\\
y(k)=(y_0-\frac14) 3^k-\frac13 (y_0-x_0-\frac12 )k3^k+\frac14.
\end{array}$$

Исследуем структуру решения системы линейных однородных
разностных уравнений в общем случае, когда характеристическое
уравнение может иметь кратные корни. Пусть $z_1,z_2,\dots,z_q$
- корни характеристического уравнения
$$
\Delta=\left|\begin{array}{cccc}
a_{11}-z&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}-z&\ldots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}-z \end{array}\right|=0
\eqno(1.75)$$
кратностей $$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_q$$ cоответственно.
Тогда $\Delta=(-1)^n(z-z_1)^{\alpha_1}(z-z_2)^{\alpha_2}\dots
(z-z_q)^{\alpha_q}.$

Так как система (1.65) однородна, то столбец из правых частей
в системе (1.72) состоит из постоянных чисел. Поэтому
определитель $\Delta_j$    в (1.73) будет многочленом  $P_j(z)$
степени меньшей чем $n$. Следовательно,
$$
X_j(z)=\frac{P_j(z)}{\Delta}$$
можно разложить на сумму элементарных дробей вида
$$
X_j(z)=\sum_{i-1}^q\sum_{\mu=1}^{\alpha_i}\frac{A_{\mu j}}{(z-z_i)^\mu}.$$
Переходя к оригиналам с использованием формулы (1.74), получим
$$
x_j(k)=\sum_{i=1}^q\sum_{\mu=1}^{\alpha_i}\frac{A_{\mu j}}{z_i^{\mu-1}}
C_k^{\mu-1}z_i^k.$$
Так как $C_k^m$ является многочленом по $k$ степени $m$, то
каждая компонента $x_j(k)$ решения системы однородных уравнений
(1.65) имеет вид
$$
x_j(k)=\sum_{i=1}^qQ_{ij}(k)z_i^k.\eqno(1.76)$$
Здесь $Q_{ij}(k)$ - многочлен степени не выше чем $\alpha_i-1,$
где $\alpha_i$ - кратность корня $z_i$ характеристического
уравнения (1.75).

\input{kamensky.tex}

\end{document}
