\bigskip
{\large 1.6.Устойчивость линейных разностных уравнений.}
\bigskip

Рассмотрим линейное разностное уравнение
$$
a_0x(k+n)+a_1x(k+n-1)+\dots+a_nx(k)=f(k).\eqno (1.77)$$
с постоянными коэффициентами при начальных условиях
$$
x(0)=x_0,x(1)=x_1,\dots,x(n-1)=x_{n-1}.\eqno(1.78)$$
{\it Возмущенное решение} $\tilde x(k)$ уравнения
(1.77) определяется  начальными условиями
$$
\tilde x(0)=x_0+\Delta x_0,\tilde x(1)=x_1+\Delta x_1,
\dots,\tilde x(n-1)=x_{n-1}+\Delta x_{n-1}.$$

{\sc Определение.}{\it Решение $x(k)$ уравнения (1.77)
называется устойчивым, если для любого $\varepsilon >0$
можно найти такое $\delta(\varepsilon)>0,$ что при любых
$\Delta x_i,$ удовлетворяющих неравенству
$$
|\Delta x_i|<\delta(\varepsilon),\quad i=0,1,2,\dots,n-1\eqno
(1.79)$$
для всех $k\geq n$ выполняется неравенство
$$
|\tilde x(k)-x(k)|\leq\varepsilon.\eqno(1.80)$$
Устойчивое решение $x(k)$  называется асимптотически
устойчивым, если существует такое $\delta_1>0,$ что
$$
\lim_{k\to\infty}(\tilde x(k)-x(k))=0$$
при произвольных $\Delta x_i,$ удовлетворяющих условиям  }
$|\Delta x_i|<\delta_1,\quad i=1,2,\dots,~n~-~1.$

Определим $y(k)=\tilde x(k)-x(k).$
Очевидно,что $y(k)$ удовлетворяет однородному уравнению
$$
a_0y(k+n)+a_1y(k+n-1)+\dots+a_ny(k)=0\eqno(1.81)$$
и начальным условиям
$$
y(0)=\Delta x_0,y(1)=\Delta x_1,\dots,y(n-1)=\Delta x_{n-1}.
\eqno (1.82)$$
Поэтому  условия устойчивости и асимптотической устойчивости
 можно перефор\-мулировать следующим образом.

 Решение уравнения (1.81) тождественно равное нулю
 называется {\it тривиальным решением.} Тривиальное
 решение  уравнения (1.81) называется устойчивым,
 если для любого $\varepsilon>0$ существует такое
 $\delta(\varepsilon)>0,$ что $$|y(k)|<\varepsilon\eqno(1.83)$$
 для всех $k\geq n,$ если $$|y(k)|<\delta\eqno(1.84)$$ при
 $ k=0,1,\dots,n-1.$
 Устойчивое тривиальное решение уравнения (1.81)
 называется асимптотически
 устойчивым, если существут такoе $\delta_1,$ что
$$\lim_{k\to\infty}y(k)=0\eqno(1.85)$$
 для любых
 $\Delta_i,i=0,1,\dots,n-1,$ таких что
 $|\Delta_i|<\delta_1,\\i=0,1,\dots,n-1.$

 Функции $y(k)$ не зависят от правой части уравнения (1.77)
 и от начальных условий (1.78). Следовательно, если устойчиво
 или асимптотически устойчиво тривиальное решение уравнения
 (1.81), то устойчивыми или соответственно асимптотически
 устойчивыми будут все решения этого уравнения. Поэтому
 употребляются термины {\it устойчивое уравнение} и
 {\it асимптотически устойчивое уравнение.}

 Как показано в предыдущем параграфе, всякое решение уравнения
 (1.81) может быть представлено в виде
 $$
 y(k)=\sum_{j=1}^qR_j(k)z_j^k,\eqno(1.86)$$
 где $z_j(j=1,2,\dots,q)$ -различные корни характеристического
 уравнения
 $$Q(z)=a_0z^n+a_1z^{n-1}+\dots+a_n=0,\eqno (1.87)$$
кратностей  $\alpha_j(j=1,2,\dots,q),$ а $R_j(k)$
- многочлены степеней меньших $\alpha_j$ соответственно.

Из представления (1.86) непосредственно следует

{\sc Теорема 1.10.}{\sl Для асимптотической устойчивости уравнения
(1.77) необходимо и достаточно, чтобы модули всех корней
характеристического уравнения (1.87) были меньше единицы. Если
модуль хотя бы одного корня больше единицы, то уравнение (1.77)
неустойчиво. Если имеется несколько простых корней
характеристического уравнения (1.87)   по модулю
равных единице, а все остальные корни по модулю меньше
единицы, то уравнение (1.77) устойчиво, но не асимптотически.}


В теории устойчивости линейных дифференциальных уравнений
 хорошо известен критерий
устойчивости связанный с расположением корней характеристи\-ческого
уравнения на комплексной плоскости\\(см.[2], гл.4).Так для линейного
дифференциального уравнения

$$
b_0x^{(n)}(t)+b_1x^{(n-1)}(t)+\dots+b_nx(t)=0\eqno (1.88)$$

характеристическое уравнение имеет вид
$$
b_0z^n+b_1z^{n-1}+\dots+b_n=0.\eqno(1.89)$$
Для асимптотической устойчивости уравнения (1.88) необходимо и достаточно,
чтобы все корни $z_i$ характеристичекого уравнения (1.89) лежали в
левой полуплоскости на комплексной плоскости ($Re\; z_i<0$). Так
как критерии расположения корней уравнения (1.89) в левой
полуплоскости изложены в многочисленной литературе по теории
дифференциальных уравнений и по теории управляемых систем,то
полезно описание сведения критерия расположения корней
характеристического уравнения (1.87) внутри единичного круга к
критерию расположения нулей некоторого многочлена в левой
полуплоскости на комплексной плоскости.

Положим в (1.87)
$$
z=\frac{s+1}{s-1}.\eqno(1.90)$$
Тогда
$$
Q(z)=\frac{Q_1(s)}{(s-1)^n},\eqno(1.91)$$
где
$$
Q_1(s)=a_0(s+1)^n+a_1(s+1)^{n-1}(s-1)+\dots+a_n(s-1)^n.\eqno(1.92)$$

{\sc Теорема 1.11.} {\sl Для того, чтобы разностное уравнение (1.81)
было асимптоти\-чески устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы
многочлен $Q_1(s)$ имел степень $n,$ а все его нули $s_i$ лежали в левой
полуплоскости  на комплексной плоскости} $(Re\,s_i<0).$

{\it Доказательство.} Из формулы (1.91) следует, что если $Q_1(s)$
обращается в нуль в точке  $s,$ то $Q(z)$ обращается в нуль в точке
$z$ связанной с $s$ равенством (1.90).

Если степень многочлена $Q_1(s)$ равна $n,$ то  все нули $Q_1(s)$
связаны с нулями $Q(z)$ формулой (1.90). Если  же степень $Q_1(s)$
равна $l<n,$ то $Q(z)$  имеет $(n-l)$-кратный нуль  $z=1.$
Действительно, если $s$ не является нулем $Q_1(s),$ то правая
часть (1.91)  обращается в нуль лишь при $s=\infty,$ но
бесконечно большому $s$ соответствует $z=1.$

Покажем теперь, что точке $z,$  лежащей внутри единичного круга на
комплексной плоскости, соответствует  в силу (1.90) точка $s$
лежащая в левой полуплоскости, т.е. если $|z|<1,$ то $Re\,s<0,$
и обратно, если $Re\,s<0,$ то $|z|<1.$ Положим $z=a+ib,$
$s=u+iv$; тогда, учитывая (1.90), получаем
$$
|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\frac{\displaystyle (u+1)^2+v^2}
{\displaystyle (u-1)^2+v^2}}.$$
Отсюда следует, что если $Re\,s=u>0,$ то $|z|>1$; если
$Re\,s=u<0,$ то $|z|<1.$

Если порядок $Q_1(s)$ меньше $n,$ то $Q(z)$ имеет нули
равные единице и уравнение (1.81) не будет асимптотически устойчивым.
\rule{5pt}{5pt}

{\small {\sc Пример.} Исследовать на устойчивость уравнение
$$
x(k+2)+a_1x(k+1)+a_2x(k)=f(k).$$
Его характеристическое уравнение имеет вид
$$
z^2+a_1z+a_2=0.$$
Используя (1.90),имеем
$$
\begin{array}{c}
Q_1(s)=(s+1)^2+a_1(s+1)(s-1)+a_2(s-1)^2=\\
+(1+a_1+a_2)s^2+2(1-a_2)s+1-a_1+a_2.\end{array}$$

Как известно, для того, чтобы нули многочлена $Q_1(s)$  лежали в
левой полуплоскости на комплексной плоскости, необходимо и
достаточно, чтобы его коэффициенты были положительными (см. [2],
гл.4). Таким образом, для асимптотической устойчивости данного
уравнения  необходимо и достаточно, чтобы его коэффициенты
удовлетворяли неравенствам      }
$$
1+a_1+a_2>0,1>a_2,1+a_2>a_1.$$
\newpage
{\Large Глава 2. Преобразование Лорана.}\bigskip

{\large 2.1. Преобразование Лорана и его свойства.}\bigskip


 Преобразование Лорана, называемое также $z$-преобразованием, получило
 за последние десятилетия широкое рапространение как метод решения
 разностных уравнений (см.[3]).

  Метод использования преобразования Лорана для
  решения линейных разностных уравнений
 аналогичен методу решения линейных дифференциальных
 уравнений с помощью преобразования Лапласа.

 Идея этого метода
 заключается в следующем. Каждой функции $f(k)$ из некоторого класса
 функций, называемых {\it оригиналами},  соответствует некоторая
 функция $F(z)$, называемая {\it изображением.}

Закон соответствия и классы оригиналов и изображений выбраны таким образом,
что некоторым операциям над оригиналами соотвествуют более простые операции над
изображениями. В частности, линейное разностное уравнения после
преобразования по Лорану переходит в алгебраическое уравнение, которое
легко решается. Переходя затем от изображений к оригиналам, можно найти
решение исходного разностного уравнения.

{\sc Определение.} Функция $f(k)$ целочисленного
аргумента, определенная для $k=0,1,\dots,$ принимающая комплексные значения и
обладающая тем свойством, что ряд
$$\sum_{k=0}^{\infty}f(k)z^{k+1}$$
имеет отличный от нуля радиус сходимости, называется {\it оригиналом}.

 {\it Изображением} по Лорану,
соотвествующим оригиналу $f(k),$ называется функция комплексного
переменного
$$
F(z)=\sum_{k=0}^\infty f(k)z^{-k-1}.\eqno (2.1)$$
Соответствие между оригиналом и  изображением мы будем обозначать знаком
 $\Llra$.

 Правую часть формулы (1.1)  можно рассматривать как ряд Лорана для
 функции $F(z).$ Так как правильная часть ряда Лорана отсутствует, то
 область сходимости этого ряда представляет собой внешнюю часть
 некоторого круга $K$ с центром в начале координат. (См.[6],гл.6.)
  Из определения оригинала следует, что круг $K$ имеет конечный
 радиус.

 {\sc Теорема 2.1 -- теорема обращения.}{ \sl Если $f(k)$ -- оригинал,
 а $F(z)$ -- его изображение, то
 $$
 f(k)=\frac1{2\pi i}\int_\Gamma F(z)z^k\,dz.\eqno (2.2)$$
 Интегрирование производится здесь по произвольной окружности $\Gamma,$
 содержащей внутри круг $K$, против часовой стрелки.   }

 {\it Доказательство.} Формула (2.2) вытекает непосредственно из
 интегрального представления  коэффициентов ряда Лорана. (См. [6],гл.6,
 формула (7).) \black

{\sc Теорема 2.2.-- теорема разложения.}{\sl Если $f(k)$ -оригинал, а
$F(z)$ - его изображение, то
$$ f(k)=\sum_i\begin{array}{c}{}\\ res\\z_i\end{array}[F(z)z^k],\eqno (2.3) $$
где сумма распространена на все особые точки $z_i$, функции $F(z)z^k.$}

{\it Доказательство.} Так как ряд (2.1) сходится всюду вне круга $K$,
содержащегося внутри контура $\Gamma$, то все особые точки функции
$F(z)z^k$ лежат внутри окружности $\Gamma$. По основной теореме о
вычетах (см. [6],гл.7.)
$$
\frac1{2\pi i}\int_{\Gamma}F(z)z^k\,dz=\sum_i \begin{array}{c}{}\\res\\
z_i\end{array}[F(z)z^k],$$
где сумма распространена на все особые точки подынтегральной функции,
лежащие внутри контура $\Gamma$. Отсюда и из теоремы 1 следует
 доказываемое утверждение.  \black

 {\sc Следствие.}{\sl Если все особые точки функции $F(z)$ -полюсы и
 $n_i$ -кратность полюса $z_i,i=1,\dots m,$ то
 $$
 f(k)=\sum_{i=1}^m\frac1{(n_i-1)!}\lim_{z\to z_i}\frac{d^{n_i-1}}{dz^{n_i-1}}
 [(z-z_i)^{n_i}F(z)z^k] \eqno (2.4)$$
 Если же функция $F(z)$ имеет только простые полюсы $$F(z)=\frac{A(z)}{B(z)},
 A(z_i)\ne 0,B(z_i)=0,B^{\prime} (z_i)\ne 0, i=1,\dots m,$$
  то}
  $$
 f(k)=\sum_{i=1}^m \frac{A(z_i)}{B^{\prime}(z_i)}{z_i}^k,\quad(k\geq 1).
 \eqno (2.5) $$

Доказательство получается применением формул для вычисления вычетов в простом и в
кратном полюсах (см. [6], гл.7)  к вычислению вычетов в формулах (2.4),
(2.5).

{\sc Теорема 2.3 - теорема линейности.}{\sl Пусть $f(k)$ и $\varphi(k)$ -
оригиналы, а $F(z)$ и $\Phi (z)$ -их изображения. Тогда                }
$$
\alpha f(k)+\beta \varphi (k) \Llra \alpha F(z)+\beta \Phi (z) \eqno (2.6)$$

{\it Доказательство}.
Действительно,
$$
\sum_{k=0}^\infty [\alpha f(k)+\beta \varphi(k)]z^{-k-1}=\alpha \sum_{k=0}
^\infty f(k)z^{-k-1}+\beta \sum_{k=0}^\infty \varphi (k)z^{-k-1},
$$
что и требовалось доказать. \black

{\sc Теорема 2.4 -- теорема опережения.}{\sl Если $f(k)\Llra F(z),$ то
$$
f(k+n)\Llra z^nF(z)-[f(0)z^{n-1}+f(1)z^{n-2}+\dots +f(n-1)]\eqno (2.7)$$}
{\it Доказательство.} Из формулы (2.1) следует
$$
f(k+n)\Llra \sum_{k=0}^\infty f(k+n)z^{-k-1}=
z^n[F(z)-\sum_{k=0}^{n-1}f(k)z^{-k-1}].$$
Раскрывая квадратные скобки в последнем выражении, получаем требуемое.
\black

{\sc Теорема 2.5 --теорема о свертке.}{\sl Если $f(k)$ и $\varphi(k)$ --
оригиналы, а $F(z)$ и $\Phi(z)$ --их изображения, то}
$$
\sum_{n=0}^kf(n)\varphi(k-n)\Llra zF(z)\Phi(z). \eqno (2.8)$$

{\it Доказательство.} Перемножая $F(z)$ и $\Phi(z),$ получаем
$$       \begin{array}{c}
F(z)\Phi(z)=[\sum_{k=0}^\infty f(k)z^{-k-1}][\sum_{k=0}^\infty\varphi(k)
z^{-k-1}]=\\=z^{-2}[\sum_{k=0}^\infty f(k)z^{-k}][\sum_{k=0}^\infty\varphi(k)
z^{-k}]=
z^{-1}\sum_{k=0}^\infty z^{-k-1}\sum_{n=0}^kf(n)\varphi(k-n),
\end{array}$$
откуда и следует (2.8).\black

{\sc Теорема 2.6 -- теорема о дифференцированиии изображе\-ния.}
{\sl Пусть $f(k)\Llra F(z).$ Тогда}
$$
-(k+1)f(k)\Llra z\frac{dF(z)}{dz}.\eqno (2.9)$$
{\it Доказательство.} Дифференцируя равенство (2.1) по $z,$ получаем
$$
\frac{dF(z)}{dz}=\frac  d{dz} \sum _{k=0}^\infty f(k)z^{-k-1}=
z^{-1}\sum_{k=0}^\infty [-(k+1)f(k)]z^{-k-1}, $$
откуда и следует теорема.    \black 

{\sc Теорема 2.7. -- Теорема о предельном значении.}{Если $f(k)\Llra
F(Z),$ то                     }
$$
\lim_{z\to\infty}zF(z)=f(0).$$
{\it Доказательство. } Переходя к пределу при $z\to\infty$ в формуле
$$
zF(z)=f(0)+\frac{f(1)}z+\dots,$$
получаем утверждение теоремы.\black \bigskip


{\large 2.2. Вывод формул соответствия между оригиналами и их изображениями
по Лорану.}                                 \bigskip


Применим доказанные теоремы к нахождению изображений для некоторых простейших
оригиналов.

Полагая $f(k)\equiv 1,$  используя формулу (2.1) и формулу суммы
геометрической прогрессии, получаем
$$
1\Llra \frac1{z-1}.\eqno(2.10)
$$
Применяя к полученной формуле теорему о дифференцировании изображения,
находим
$$
-(k+1)\Llra z\frac d{dz}[\frac 1{z-1}]=-\frac z{{(z-1)}^2}=-[\frac 1{z-1}+
\frac 1{{(z-1)}^2}].$$
Отсюда и из (2.10) следует
$$
k\Llra \frac 1{(z-1)^2} \eqno(2.11) $$

Вновь используя теорему о дифференцировании изображения, можно получить
соответствия
$$
k^2\Llra \frac 1{(z-1)^2}+\frac 2{(z-1)^3}\eqno (2.12)$$
$$
k^3\Llra \frac 1{(z-1)^2}+\frac 6{(z-1)^3}+\frac 6{(z-1)^4} \eqno (2.13)$$

Найдем теперь оригинал для изображения
$F(z)=\frac {\lambda^n}{(z-\lambda)^{n+1}}.$ Применяя формулу (2.4),получаем
$$
f(k)=\frac{\lambda^n}{n!}\lim_{z\to\lambda}\frac{d^n}{dz^n}z^k.$$

Отсюда, если $k\geq n,$ то
$$
f(k)=\frac{k(k-1)\dots (k-n+1)}{n!}\lambda^k=C^n_k\lambda^k.$$
Если же $k<n,$ то $f(k)\equiv 0.$
Принимая обычное соглашение о том, что $C^n_k=0,$ если $k<n,$
можно объединить эти формулы и для всех $k$  иметь
$$
C^n_k\lambda^k\Llra \frac{\lambda^n}{{(z-\lambda)}^{n+1}}. \eqno (2.14)$$

Полагая в этой формуле  $\lambda=1,$
получаем
$$
C^n_k \Llra\frac 1{(z-1)^{n+1}}. \eqno (2.15)$$
Если же в формуле  (2.14) положить $n=0$ и $\lambda =e^\omega,$ то
мы получим
$$
e^{\omega k}\Llra \frac 1{z-e^\omega}, \eqno (2.16)$$
Используя эту формулу и формулы Эйлера, будем иметь следующие соответствия
$$\cos{\omega k}\Llra \frac{z-\cos\omega}{z^2-2z\cos\omega+1}.\eqno (2.16)
$$
$$
\sin{\omega k}\Llra \frac{\sin\omega}{z^2-2z\cos\omega+1}.\eqno (2.17)$$
Для гиперболических функций точно так же получаются формулы
$$
\cosh{\omega k}\Llra \frac{z-\cosh\omega}{z^2-2z\cosh\omega+1}.\eqno (2.18)
$$
$$
\sinh{\omega k}\Llra \frac{sinh\omega}{z^2-2z\cosh\omega+1}.\eqno(2.19)$$
\bigskip
{\large Дискретные оригиналы и их изображения по Лорану}
$$\begin{array}{|c|c|c||c|c|c|}
\hline
No&f(k)&F(z)&No&f(z)&F(z)\\ \hline
1&1&{\displaystyle\frac1{z-1}}&6&
\cosh\omega k&{\displaystyle\frac{z-\cosh\omega}{z^2-2z\cosh\omega+1}}\\
2&k&{\displaystyle\frac1{(z-1)^2}}&7&\sinh\omega k&
{\displaystyle\frac {\sinh\omega}{z^2-2z\cosh\omega+1}}\\
3&e^{\omega k}&{\displaystyle\frac1{z-e^\omega}}&8&C_k^q\lambda^k&
{\displaystyle\frac{\lambda^q}
{(z-\lambda)^{q+1}}}\\
4&\cos\omega k&{\displaystyle\frac{z-\cos\omega}{z^2-2z\cos\omega+1}}&
9&C_k^q& {\displaystyle\frac1{(z-1)^{q+1}}}\\
5&\sin\omega k&{\displaystyle\frac{\sin\omega}{z^2-2z\cos\omega+1}}
&{}&{}&{}\\ \hline
\end{array}$$
\newpage
\begin{center}{\large Литература} \end{center}
{\small

[1]. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. Наука, 1967.

[2]. Гноенский Л.С., Каменский Г.А., Эльсгольц Л.Э. Математические основы
теории управляемых систем. Наука, 1969.

[3]. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа.
Наука,1965.

[4]. Иванов В.А.,Ющенко А.С. Теория дискретных систем автоматического
регулирования. Наука,1983.

[5]. Каменский Г.А. Об одном способе определения преобразования Лорана.
Сб.науч.-методич. статей {\sc математика},\\ МИНВУЗа СССР,Вып.3,1973,
стр.79-86.

[6]. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного.
Наука,1967.

[7]. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. т.1.2,\\Физматгиз,1960.}
\newpage

\begin{center}{\sc ОГЛАВЛЕНИЕ}    \end{center}

{\sc Введение}\dotfill 1

{\sc Глава 1.} Линейные разностные уравнения\dotfill 4

1.1. Основные понятия и определения\dotfill 4

1.2. Линейные однородные разностные уравнения и \\ \phantom{0000000}системы
    уравнений\dotfill  7

1.3. Линейные неоднородные разностные уравнения и \\ \phantom{0000000} системы
    уравнений\dotfill 10


1.4. Метод вариации постоянных\dotfill 11

1.5. Линейные разностные уравнения и системы уравнений с\\ 
\phantom{0000000} постоянными
     коэффициентами\dotfill 13

1.6. Устойчивость линейных разностных уравнений\dotfill 25

{\sc Глава 2.} Преобразование Лорана\dotfill 29

2.1. Преобразование Лорана и его свойства\dotfill 29

2.2. Вывод соответствий между оригиналами и \\  \phantom{0000000}изображениями
     по Лорану\dotfill 31

{\sc Литература}\dotfill 34



